Геометрия 9 класс. Пропорциональность отрезков хорд и секущих. Контрольная работа . По теме: методические разработки, презентации и конспекты. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности . Доказать, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS. Контрольная работа . Тема: «Векторы». Цель: Выявить степень уровня качества знания учащихся по предмету в соответствии с . Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Что такое хорда окружности? Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из. равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 4. Найти внешний отрезок второй секущей. Обозначим через х длину внешнего отрезка второй секущей. Тогда согласно условию задачи длина внутреннего отрезка второй секущей будет х + 7. Теперь согласно утверждению 1) имеем. Из точки Р проведены к окружности касательная PC = 1. РВ = 1. 6 м. Найти внешнюю часть секущей АР. Обозначим через х длину внешнего отрезка секущей. Тогда согласно утверждению 2) имеем. Презентация по математике . ООписание слайда: Радиус. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Описание слайда: Хорда. Что такое хорда окружности? Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. О А ВОписание слайда: Центральный угол- это угол с вершиной в центре окружности. ООписание слайда: Величина центрального угла равна величине дуги , на которую он опирается. А В АВ = АОВ О АВОписание слайда: М N K O Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Найти: АВС = ? Ответ: 4. Описание слайда. Найти: АОС = ? Найти: АКС = ? Ответ: 7. Описание слайда: Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC- прямой. Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре . Хорды, равноудалённые от центра окружности. Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. Две хорды разной длины. Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. Равные дуги. У равных дуг равны и хорды. Параллельные хорды. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих. Фигура. Рисунок. Теорема. Пересекающиеся хорды. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: Посмотреть доказательство. Касательные, проведённые к окружности из одной точки. Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. AB = ACПосмотреть доказательство. Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки. Справедливо равенство. Посмотреть доказательство. Секущие, проведённые из одной точки вне круга. Справедливо равенство: Посмотреть доказательство. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис. Рис. 1 Тогда справедливо равенство Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис. Рис. 2 Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC. Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство откуда и вытекает требуемое утверждение. Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис. Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства откуда и вытекает требуемое утверждение. Теорема о бабочке Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис. Тогда отрезки GK и GL равны. Рис. 5 Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения: Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим. Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим. Воспользовавшись теоремой 1, получим. Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим. Поэтому Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство откуда вытекает равенствоx = y , что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
November 2017
Categories |